Принятие решения в условиях неопределенности

Как уже указывалось, применение методов теории вероятностей при однократной реализации исхода принятого решения, вообще говоря, неправомерно. Методологически близкая ситуация возникает и в случаях многократной реализации исхода, но при дополнительном предположении, что либо распределение вероятностей параметра z неизвестно, либо параметр неопределенности z изменяется неизвестным образом, но не является случайным (не обладает свойством статистической устойчивости - так называемый случай полной неопределенности) [6,10].

В указанных ситуациях информация о факторе неопределенности обычно имеет вид

zZ, (6)

где Z - некоторое множество. Но подобной информации также недостаточно для однозначного решения задачи выбора альтернативы x.

Напомним, что мы попрежнему рассматриваем задачу оптимизации I(x,z). Из решения этой задачи мы можем определить вектор x как функцию z:

x=x(z). (7)

Формула (7) позволяет лишь отобразить множество неопределенности природных факторов Z на множестве G_xX, которое естественно назвать множеством неопределенности решений x. Выбор конкретного элемента из множества G_x может основываться на введении различных разумных гипотез о поведении cреды. Одна из важнейших гипотез такого типа называется гипотезой антагонизма. Она состоит в предположении, что среда ведет себя “наихудшим” (для принимающего решение) образом. В итоге в качестве оптимальной альтернативы выбирается решение задачи оптимизации :

I₄(x)=. (8)

Из последнего соотношения видно, что для вычисления значения функционала I₄(x) при фиксированном значении x решается задача минимизации I(x,z) по z, т.е. подбирается “наихудший” возможный вариант z. Соответствующее значение I берется в качестве значения функционала I₄, соответствующего заданному x. Принцип выбора оптимальной альтернативы x^* на основе решения задачи (8) называется также принципом гарантированного результата или принципом максимина. Число I₄(x^*)=I^* называется гарантированной оценкой, а сам элемент x^* - гарантирующим решением. Смысл введенных названий состоит в том, что, каково бы ни было значение параметра неопределенности z, выбор x=x^* согласно формуле (8) гарантирует, что при любом z значение целевого функционала I(x,z) будет не меньше, чем I^* (докажите последнее замечание).

Пример 1.6.

Для примера 3 из введения гипотеза антагонизма формулируется в виде следующего предположения: если студент не берет билет, контролер появляется. Показателем “полезности” первой альтернативы x₁ (брать билет) является ее гарантированный уровень: I₄(x₁)=min{-40,-40}=-40 ( Таблица 6). Для второй альтернативы I₄(x₂)=min{-840,0}=-840. Наибольший из гарантированных результатов (максимин) равен (-40), а альтернатива x₁ (брать билет) является в указанном смысле оптимальной: x^*=x₁.

Очевидно, что если значение функционала I(x,z) отражает не “ полезность” альтернативы x, не “доход”, а, напротив, - “потери”, то исходная задача состоит в минимизации функции I(x,z), а максиминный критерий превращается в минимаксный:

I₅(x) I(x,z). (9)

Максиминный (минимаксный) критерий является крайне осторожным, “пессимистичным”, что может иногда приводить к нелогичным выводам, противоречащим здравому смыслу.

Пример 1.7.

Пусть функция I(x,z) задана с помощью таблицы 8, где элементы матрицы имеют смысл “потерь”, которые следует минимизировать.

Таблица 8

Z X	z1	z2
x1	10100грн.	100грн.
x2	10000грн.	10000грн.

При выборе решения x₁ или x₂ мы по-прежнему не знаем, какое значение z₁ или z₂ примет фактор неопределенности z. Применение минимаксного критерия приводит к выбору x₂. Но интуитивно мы должны выбрать x₁, поскольку совсем не исключено, что реализуется “состояние природы” z₂ и наш проигрыш будет существенно уменьшен (равен 100 грн.). В то же время при выборе x₂ мы гарантировано получим потери в 10000 грн. при любом значении z.

Предположим теперь, что задана таблица 9, представляющая функционал I(x,z).

Таблица 9

Z X	z1	z2		zm

Здесь введены обозначения I(x_i,z_j). Таким образом, мы предполагаем конечность множеств X,Z. Поясним на этом примере, как можно исправить положение с излишней “осторожностью” максиминного (или минимаксного) критерия.

Вместо матрицы {} введем матрицу , элемент которой определяется согласно (10). Иначе говоря, r_ij есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением при том же j. Обработка матрицы {} идет “по столбцам”.

(10)

Построенная таким способом матрица {r_ij} называется матрицей сожаления, так как, по существу, каждое число r_ij выражает “сожаление” лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего решения относительно состояния z_j [7,11].

Критерий минимального сожаления, предложенный Сэвиджем, состоит в применении минимаксного критерия (независимо от того, какой характер имели элементы - “дохода” или “потерь”) к матрице сожаления {r_ij};

I₆(x) ; x^*=x,

т.е. числа r_ij всегда носят характер “потерь” и их необходимо минимизировать.

Обратимся снова к последнему примеру. Матрица сожалений будет иметь вид таблицы 10

Таблица 10

Z X	z1	z2
x1	100грн.	0грн.
x2	0грн.	9900грн.

В этом случае имеем:

i=1:

i=2: .

В результате, согласно критерию Сэвиджа, выбираем первую альтернативу x₁, к чему мы и стремились интуитивно.

Следующий критерий оптимальности принимаемого решения называется критерием Гурвица. Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решения: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного [7,11].

Наиболее оптимистичный подход (в предположении, что означает “ выигрыш” или “доход”) состоит в выборе x^* из условия

i_*; x^*= (11)

Аналогично при наиболее пессимистичных предположениях выбираемое решение соответствует

(12)

Критерий Гурвица (называется также критерием пессимизма – оптимизма) сводится к взвешенной комбинации обоих способов, устанавливая баланс между случаями крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. Если означает “прибыль”(т.е. соответствующие величины необходимо максимизировать), то выбирается решение из условия

В том случае, когда представляет “затраты”, оптимальное решение удовлетворяет аналогичному соотношению :

.

При =1 имеем случай крайнего оптимизма (11); при =0 - случай крайнего пессимизма (12). Промежуточные значения показателя пессимизма - оптимизма характеризуют ту или иную склонность лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии явно выраженной склонности целесообразно полагать =1/2.

В непрерывном случае, когда аргументы функционала I(x,z) не обязаны принадлежать конечным множествам, имеем

или

I₇(x)

Aналогично для критерия Сэвиджа :

I₈(x)

где (в предположении, что функционал I требуется максимизировать)

r(x,z) I(x,z)-I(x,z).

Пример 1.8.

Один из кооперативов, занимающийся обслуживанием населения, должен определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов неизвестно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: z₁=200, z₂=250, z₃=300, z₄=350. Для каждого из этих возможных значений z_j существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

Затраты I (в тыс. грн.) приведены в таблице 11, где x_i означают варианты уровней предложения, среди которых надлежит найти оптимальный (значения функционала I в данном примере имеют смысл «потерь»).

Таблица 11

Z X	z1	z2	z3	z4
x1	5	10	18	25
x2	8	7	8	23
x3	21	18	12	21
x4	30	22	19	15

Заметим, что все отраженные в таблице11 уровни предложения оказываются наилучшими для соответствующих значений z_j. Так, x₁ оказывается наилучшим при z = z₁, x₂ - при z = z₂, x₃- при z = z₃ и x₄- при z = z₄. Таким образом “лишних “ x_i в таблице 11 не содержится. Применение минимаксного критерия к выбору решения позволяет вычислить гарантированное значение I_* = 21 и x^* = x₃. Критерий Сэвиджа приводит к матрице сожаления (13).

(13)

В результате минимаксной обработки матрицы R получаем x^*=x₂, что соответствует “сожалению”, равному 8.

Критерий Гурвица при a=1/2 приводит к выбору решения x^*=x₁ или x^*= x₂. Необходимые промежуточные результаты представлены в таблице12.

Таблица 12

X				Примечание
x1	5	25	15
x2	7	23	15	min
x3	12	21	16,5
x4	15	30	22,5

Упражнения.

а). Примените минимаксный критерий в приведенном примере, если четвертое значение возможного числа клиентов z₄ исключено. Ответ: минимаксное значение равно 8 и соответствует решению x_2.

б). Примените критерий Сэвиджа, предполагая, что решение x₂ исключено. Ответ: минимаксное значение r_ij = 10 и соответствует выбору x₁.

в). Решите этот пример с помощью критерия Гурвица при a=0.75.

Ответ: cледует выбрать x₁ со значением целевой функции 10.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями:

ТПР

• Принятие решений в условиях риска
• Принятие решений при наличии неопределенных факторов
• Многокритериальные задачи ПР в условиях определенности
• Однокритериальные задачи ПР в условиях определенности.
• Классификация проблем принятия решений