Интенсивность потоков и коэффициенты передач.

Вероятности передач p_{i j} однозначно определяют соотношение между интенсивностью потоков заявок, циркулирующих в сети и, в частности, попадающих в соответствующую систему S₀, S₁, … , S_i, …, S_n. Интенсивности для каждого из этих устройств принято обозначать как l₀,l₁,…,l_i, …, l_n. При этом l₀ - интенсивность потока заявок сети, а l₁,…,l_i, …, l_n - интенсивность устройств или систем сети. Как правило, анализ стохастических сетей рассматривается в установившемся режиме, т.е. когда среднее число заявок, поступающих в S_i систему равно суммарному потоку, покинувшему эту систему S_i.

При этом интенсивности потоков, входящих в любую S_i определяется как сумма интенсивностей потоков, поступающих в ней из других систем S_j.

Для иллюстрации стохастических сетей широко используются направленные графы, вершинами которого являются соответствующие системы (устройства) сети, а дугами являются вероятности заявок (вероятности передач).

Граф разомкнутой сети.

Граф замкнутой сети.

Эти графы принято называть графами передачи сети, которые необходимо отличать от графов переходов. Дуги этого графа относятся к взвешенным вероятностям p _{i j} . Рассмотрим с помощью этих графов трансформацию входного потока заявок l₀ ко входам составляющих СМО для установившегося режима.

Обозначим через a_i коэффициент передачи входящего потока заявок ко входу S_i (a_i® S_i). Этот коэффициент количественно равен среднему числу проявлений произвольных заявок из входного потока сети.

(1)

Поскольку рассматривается сеть без потерь, то интенсивности выходных потоков для любой системы S_i совпадает с интенсивностью входных потоков. Интенсивность входящего потока заявок в S_j будет определяться как сумма долей потоков, поступающих от источника S₀ и других СМО.

(2) j = 1, …, n.

C учетом (1):

(2’) j = 1, …, n.

Сокращая на l₀ , можно получить линейную систему неоднородных уравнений относительно используемых коэффициентов передачи ai :

система уравнений n-го порядка. Эта система уравнений имеет единственное решение, не зависимо от того, разомкнута или замкнута сеть, но для разомкнутой сети l₀ считается известным, поэтому анализ такой сети сводится к совокупности анализа независимых СМО S_i, интенсивность входящего потока которых l_i можно выразить через интенсивность входного потока сети (l₀). Для работы замкнутой сети характерно, что составляющие ее СМО независимы, т.е. можно каждую такую систему представить следующим образом:

l₁ = a₁ l₀, …, l_n = a_n l₀ . Известно, что каждая в отдельности СМО должна быть рассчитана для установившегося режима. Такой режим будет, если r_i / m_i < 1 (m_i - число каналов) или l _i / (m _i m _i ) < 1. Так как для любого l _i выполнено равенство l _i = a_i l₀ , то очевидно, что (a_i l₀)/ (m _i m _i ) < 1. Данное неравенство позволяет сформулировать ограничение сверху на поток интенсивности сети l₀

из условия существования установившихся режимов в различных стохастических сетях. l₀ < min ([l _i m _i] / a_i). Если установившийся режим в системе существует, то для отдельной, каждой из составляющих сети СМО S_i, S_j можно найти поток, а затем характеристики эффективности: l_i, n_i, t_li, t_ni (S_i).

На основании выше полученных показателей эффективности, рассчитанных для отдельных СМО, выполним расчет эффективности самой сети:

- этот коэффициент называется коэффициентом загрузки сети ( для системы коэффициент загрузки равен r_i = l _i / m _i )

Замкнутая сеть характеризуется тем, что l₀ - искомая характеристика сети, причем число циркулирующих заявок является величиной постоянной и принято относить l₀ к параметрам сети. Коэффициенты передачи a_i находятся из системы линейных неоднородных уравнений аналитическим образом. При определении характеристик замкнутой сети необходимо рассмотреть систему более высокого уровня сложности по отношению к составляющим ее СМО и характеризовать ее множеством состояний. Под состоянием системы понимается совокупность чисел Z₁, Z₂, …, Z_i, …, Z_n, которые характеризуют распределение заявок, находящихся в сети в соответствующих СМО. Заявки, находящиеся в S_i в общем случае могут находиться либо на обслуживании, либо в очереди.

Каждому возможному состоянию сети в этом случае присваиваются вероятность p(Z₁, Z₂, …, Z_i, …, Z_n). В установившемся режиме вероятность состояния разомкнутых стохастических сетей равно произведению вероятности состояний, составляющих сеть СМО. Это возможно из-за того, что функционально отдельные СМО не зависимы, поэтому

где p_Zi - вероятность нахождения Z_i заявок в устройстве S_i. Для замкнутых сетей, состоящих из n СМО допустимо лишь состояния Z₁, Z₂, …, Z_i, …, Z_n , удовлетворяющих условию:

Установившийся режим в замкнутой сети существует всегда(!). (Так как очереди в произвольной S_i не могут превышать величины (Z_i - m_i) - конечного числа. ) Обозначим через A(Z,n) допустимое множество состояний замкнутой сети, а число таких состояний ½A(Z,n)½. Число допустимых состояний сети равно числу различных распределений Z заявок по n системам и определяется как С_Z+n-1 ^Z .

Пример 1. Рассмотрим сеть, у которой n=2, Z=3, т.е. A(3,2).

Пример 2. Рассмотрим сеть, у которой n=3, Z=3, т.е. A(3,3).

½A(3,3)½= C₅³ = (5-3)*5 = 10.

Вероятность состояний замкнутой сети p(Z₁,Z₂,…,Z_i,…, Z_n) -

В этой формуле знак - символn суммирования по всем допустимым состояниям замкнутой сети, т.е. по тем состояниям, для которых выполняется основное условие замкнутых сетей (*). Знаменатель в этой формуле служит для нормирования вероятности с учетом основного условия (Z = const). Поскольку замкнутая сеть построена из СМО без потерь, то для определения вероятности состояний отдельных СМО, входящих в формулу (*) можно воспользоваться основными выражениями для m - канальных СМО.

m - канальные СМО

Вывод: следует заметить, что аналитический расчет функционирования вычислительных системе возможен в том числе с применением теории массового обслуживания, однако, на практике ограничения, используемые теорией (простейший закон и т.д.) приводят либо к недопустимой погрешности результата, либо к усложнению аналитических расчетов, поэтому, если существует аналитическое решение, то оно лучше любой программы или модели. На практике большинство схем вычислительной техники аналитически промоделировать не удается, поэтому прибегают к имитационному моделированию.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: