Анализ простейшей СМО.

Такую СМО в ТМО принято обозначать как М/М/1, где первая буква М означает экспоненциальное распределение входного потока, «1» - один канал обслуживания. Такие системы могут быть исследованы с помощью марковских цепей, в которых можно выделить следующие состояния:

Z₀ - канал свободен, очереди нет,

Z₁ - канал занят, очереди нет,

Z₂ - канал занят, одна заявка в очереди,

...,

Z_k - канал занят, (k-1) заявка находится в очереди.

Решение подобных систем можно выполнить с помощью уравнений Колмогорова. Рассмотрим вероятности состояний в некоторый случайный момент времени. Допустим, в момент времени t система может находиться в одном из вышеуказанных состояний Z_i с вероятностью p_i(t). Допустим, что времени t дается приращение Dt c тем, чтобы выйти в другое состояние.

Рассмотрим вероятность для второго состояния p₂(t+Dt) = Z₂. Для того, чтобы эта система находилась в этом состоянии необходимо рассмотреть следующие ситуации:

1. Система уже находилась в состоянии Z₂ и за время Dt из него не выходит.

2. Система находилась в первом или третьем состоянии и за время Dt должна попасть в Z₂ .

Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния Z₂ : m₂₁ и l₂₃. Вероятность того, что за время Dt система выйдет из состояния Z₂: (l₂₃+m₂₁) Dt, не выйдет из этого состояния: 1-(l₂₃+m₂₁) Dt.

p₂’(t+Dt) = p₂(t)

p₂’’(t+Dt) = p₁(t)l₁₂Dt

p₂’’’(t+Dt) = p₃(t)m₃₂Dt

p₂(t+Dt) = p₂’(t+Dt) + p₂’’(t+Dt) + p₂’’’(t+Dt)

p₂(t+Dt) = p₂(t)[ 1 - (l₂₃+m₂₁) Dt] + p₁(t)l₁₂Dt + p₃(t)m₃₂Dt

Аналогичным образом можно проанализировать и все другие состояния, в которых как видно, будут выражения с положительными и отрицательными слагаемыми. В том случае, если знак «-» - используют понятие потока, выводящего систему из данного состояния.

При Dt стремящемся к нулю, т.е. при Dtà 0, получим:

В том случае, если ,

Обобщив все проделанные выкладки для второго состояния на k-е и заменив два индекса одним, получим:

В том случае, если , т.е.

Нормирующее уравнение: .

p_k = p₀l^k/m^k

Нормирующее уравнение:

Сумма будет конечной, если r < 1. < 1. Сумма ряда:

. p₀ = [1/(1-r)]^-1 = 1-r - вероятность нахождения в состоянии р₀ , выражена через коэффициент загрузки канала r.

1 - р₀ = r - коэффициент занятости канала, вероятность занятости канала.

Среднее число заявок, находящихся в системе СМО:

Используя соотношения Литтла:

- первое соотношение Литтла,

- второе соотношение Литтла,

, получим:

Длина очереди одноканальных СМО стремится к бесконечности, при r à 1, поэтому, если r = 0.999, то l_0.999 > l_0.9. Когда требуется рассчитать память на ее оптимальную загрузку, требуется подобрать такое r, при котором длина очереди соответствует уровню емкости памяти ( L - емкость).

L*à r* à l/m, l - задана, m - подбирают.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: