Многоканальные СМО.

m/m/M, где М - число каналов

Особенность:

m - число каналов,

n - число заявок.

m_i - для всех каналов одинаково. Эта схема может быть решена с помощью марковских цепей гибели и размножения.

S₀ - не занят ни один канал, n £ m

S₁ - занят один канал ,

…

S_n - занято n каналов. n > m

1) n £ m

нет очередей

2) n > m

есть очереди

Уравнения Колмогорова для установившихся состояний:

n=1: p₀l + p₂2m -p₁(m +l) = 0,

p₂2m = p₁(m +l) - p₀l = p₀ l/m(m +l) - p₀l

p₂2m = p₀ l²/m + p₀ lm/m - p₀l

p₂ = (p₀ l²)/(1*2m²)

n=2: p₁l + p₃ 3m -p₂(2m +l) = 0,

p₃ = (p₀ l³)/(1*2*3m³)

…

n=n: ; n£m

Аналогично, решая вышеуказанную систему можно получить выражение для случая n>m:

p_n = (p₀ lⁿ)/(m!mⁿ m^n-m),

n-m=1,

n-m=2,

…

n-m=k, n = k+m à p_m+k = (p₀ r^mr^k)/(m! m^k),

- базовое уравнение для определения вероятности р₀ для m-канальной СМО.

Основные характеристики:

- средняя длина очереди,

- среднее число заявок в очереди,

- среднее время нахождения заявок в очереди,

- среднее время нахождения заявок в системе.

Очередь возникает, когда n³m, к определяет среднюю длину очереди ().

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы а<1, а = r/m,

r>0,m>0.

d/daS_k = d/da(a/(1-a)) = (1-a+a)/(1-a)² = 1/(1-a)²

l = (p₀ r^m+1)/(m!m(1-a)²) =(p₀ r^m+1)/(m!m(1-r/m)²) = (p₀ r^m+1 m²)/(m!m(m-r)²) = (p₀ r^m+1 m)/(m!(m-r)²) =

{m=4: m/m! = 4/4*3*2*1 =1/3*2*1,

m=7: m/m! = 7/7*6*5*4*3*2*1 = 1/6*5*4*3*2*1,

…,

следовательно, m/m!=1/(m-1)!} = (p₀ r^m+1 )/[(m-1)!(m-r)²].

Среднее время заявок в очереди:

t_l =l/l = p₀ r^m l )/[ml(m-1)!(m-r)²] = p₀ r^m )/[m(m-1)!(m-r)²].

Среднее время заявок в системе:

t_n = t_l + t₀ = t_l + 1/m, t₀ = t₀ , n = t_nl.

Пример. Расчет двухканальной СМО с интенсивностью потока обслуживания в одном канале m = 20 1/c. Суммарный поток l = 30 1/c. Найти основные характеристики такой СМО.

r = l/m = 30/20 = 1.5>1, т.к. система многоканальная. а_ср = r/m = 0.75.

Надо определить предельную вероятность нулевого состояния р₀:

р₀ = [1+1.5/1+1.5²/(1*2) +1.5³/(2*(2-1.5)]^-1= 0.143<1,

t_l = (1.5²*0.143)/(20*(2-1.5)²)= 0.064 c.

t_n= t_l + t₀ = 0.064 + 1/20 = 0.114 c.

a_ср - приведенное среднее число занятых каналов к общему числу каналов. Эту задачу можно распространить на двухпроцессорную систему, на вход которой могут поступать три простейших входных потока l₁, l₂, l₃, причем l₁ = 6 1/c, l₂ = 15 1/c, l₃ = 9 1/c. Процессоры принимаются однотипными с быстродействием В= 50*10³ опер/c.

Обслуживание заявки заключается в выполнении на любом из процессоров соответствующих прикладных программ, причем средняя трудоемкость таких программ q = 2.5 * 10³ операций. От заявки к заявке конкретная трудоемкость меняется случайным образом и будем считать для простоты, что ее распределение экспоненциальное. Для хранения заявок выделена буферная область памяти емкостью 8 ячеек. Прежде чем решать аналитически данную задачу необходимо сформулировать условие в терминах ТМО: L = 8, l₀ = S l_i = 30 1/c. Надо подсчитать m - интенсивность обслуживания: m = В/ q = 20 1/c. Вернемся к примеру. l = t_l * l = 1.92 » 2. В общем случае аналитический расчет СМО можно распространить и на другие композиции СМО.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: