Критерий Михайлова.

Критерий Михайлова основан на принципе аргумента функции комплексного переменного: при обходе любого замкнутого контура на комплексной плоскости переменного z приращение аргумента функции комплексного переменного P(z): Δarg P(z)= (m-k)•2p, где m- число нулей функции P(z), а k- число полюсов функции P(z). Применительно к годографу характеристического полинома получаем следующее условие Михайлова, являющееся критерием устойчивости (данное условие - необходимое и достаточное):

	Годограф устойчивого полинома n – го порядка с положительными коэффициентами (ак>0) должен: ü начинаясь на положительной вещественной полуоси, ü последовательно проходит n квадрантов, поворачиваясь против часовой стрелки. Приращение аргумента годографа составляет при этом Dj = n• p/2 .

В самом деле, в данном случае в качестве контура можно взять границу полуокруга бесконечного радиуса, находящегося в правой полуплоскости и имеющего в качестве диаметра мнимую полуось. Далее, полином не имеет полюсов, поэтому принцип аргумента в этом случае означает: Δarg P(jw)= m•2p, где m- число неустойчивых корней характеристического уравнения P(z)=0. Так как P(-jw)= P(jw), то достаточно ограничиться изменением частоты лишь в пределах от 0 до ¥, то есть именно в том диапазоне, в котором строится АФЧХ. Окончательно, учитывая эту симметрию годографа относительно вещественной оси и тот факт, что в устойчивой системе не должно быть корней в правой полуплоскости: Δarg P(jw)= n•p/2, при изменении w от 0 до ¥. (Более подробно,- необходимо рассмотреть весь контур, как совокупность двух - мнимой оси и полуокружности бесконечного радиуса. Для совокупности этих двух контуров справедлив принцип аргумента, а приращение аргумента P(z) на полуокружности равно pn.)

Из критерия Михайлова вытекает простое правило перемежаемости (чередуемости) корней. В самом деле, из рисунка видно, что корни мнимой и вещественных частей при увеличении w сменяют друг друга в строгой последовательности, запишем это условие в явном виде:

Найдем корни отдельно вещественной и отдельно мнимой части и расположим их в порядке возрастания:

- правило чередования корней. Заметим, что здесь строгие неравенства.

Применим для полинома третьего порядка:

Корни: (46)

Условие чередования даёт: т.е. a₁a₂>a₀a₃, это же вытекает для системы третьего порядка (45) и из критерия Гурвица.

Отметим, что преимущество применения правила перемежаемости – более простые полиномы (только чётного и только нечётного порядка). Также неоспоримым преимуществом является наглядность критерия.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: