Критерий Гурвица.

При условии a_n >0 (это условие легко изменить на противоположное) для устойчивости необходимо и достаточно выполнения n неравенств: Г_k > 0 при к = 1,..,n , где n – порядок системы:

(44)

В первой строке каждого определителя находятся нечётные коэффициенты уравнения. Во второй строке – чётные. Далее идёт сдвиг на одно место вправо и т.д. В итоге проверяются n определителей, которые являются главными диагональными минорами матрицы Гурвица Г_n.

Сложности использования критерия Гурвица быстро возрастают с ростом порядка полинома. Возможно эффективное использование критерия при величине n <5, так как при больших размерностях число проверяемых условий стремительно возрастает.

Рассмотрим простейшие случаи.

· n = 1 :

> a₁ >0; что в совокупности с {а_к >0} не даёт ничего нового.

Итак, в системе первого порядка необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.

· n = 2 :

> a₁ >0;

> a₁ a₂ - a₀ a₃ >0; в совокупности с {а_к >0} не даёт ничего нового, так как а₃ =0 (его просто нет в уравнении 2 порядка).

В системе второго порядка необходимое условие устойчивости также совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.

· n = 3 :

> a₁ >0;

> a₁ a₂ - a₀ a₃>0;

> a₃ Г₂ = a₃(a₁ a₂ - a₀ a₃) >0.

В этих трёх условиях 1 и 3 не дают ничего нового, а второе условие является содержательным, отличая систему 3 порядка от 2 и 1.

В системе третьего порядка необходимое условие устойчивости не совпадает с достаточным и сводится не только к одновременной положительности коэффициентов, но ик дополнительному неравенству:

a₁a₂-a₀a₃ (45)

Возвращаясь к примеру на предыдущей странице, становится понятно, почему полином 3p³ + p² + p + 1 является неустойчивым, так как не выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости a₁a₂-a₀a₃ >0, вытекающее из критерия Гурвица.

При увеличении порядка системы n число подобных неравенств, требующих проверки, и их сложность стремительно растут, например, для системы порядка четыре необходимо проверить уже более сложное неравенство a₃(a₁a₂-a₀a₃)- a₄a₁²>0, а для порядка пять - двух ещё более сложных неравенств. Заметим, что существует целый ряд модификаций критерия Гурвица, в том числе, и существенно упрощающих вычисления, например, критерий Рауса. Доказательство критерия Гурвица-Рауса мы не приводим, так как оно достаточно сложное.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: