Алгебраические методы исследования устойчивости.

 

· Необходимое условие устойчивости.

Если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (система устойчива), то все коэффициенты уравнения имеют один знак:

Р(р) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = 0 ; {a_k ><0} одновременно.

Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости).

Доказательство очень простое, заключается в разложении полинома на простейшие множители - скобки. Эти скобки могут быть вещественные или комплексно-сопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим:

(43)

При раскрывании скобок, если вещественные части корней отрицательны, а коэффициент а₀>0, получим полином с положительными коэффициентами. При отрицательном а₀ все коэффициенты полинома будут отрицательны. Сама схема рассуждения показывает, что получено лишь необходимое условие устойчивости. Простейшие примеры это демрнстрируют:

Например: p² – p + 1– неустойчивый полином;

3p³ + p² - p + 1 – также неустойчивый.

Однако, p² + p + 1– устойчивый полином (необходимо вычислить корни);

но!: 3p³ + p² + p + 1– также неустойчивый (проверьте!), хотя необхо-

димое условие устойчивости выполнено.

Приведённый пример показывает, что данное условие, в самом деле, лишь необходимое, но не обязательно достаточное. Область его применения – отсеивание заведомо неустойчивых систем.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: