> Техническое понятие устойчивости отражает понятное и очевидное свойство "хорошей" технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при некотором, возможно небольшом, отклонении всевозможных параметров от номинала.
> Устойчивость системы - простейшее техническое требование в системы в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.
> Свойство устойчивости, являясь простейшим свойством системы, без которого система неработоспособна, может быть выражено числовыми показателями, которые легко могут быть вычислены и непосредственно связаны со всеми другими показателями качества и точности системы.
Не будем останавливаться на строгих математических определениях устойчивости, так как самих этих определений устойчивости имеется несколько, их применимость связана с видом нелинейности системы. Для инженерной практики важно понимание двух теоретических фактов, установленных А.М. Ляпуновым в 1891г.:
Ø Устойчивость нелинейной системы в окрестности номинальной траектории тесно связана с устойчивостью линеаризованной системы.
Ø Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами исследуется легко и эффективно.
Ограничимся инженерным понятием устойчивости, обычно достаточным при проектировании линейных и линеаризуемых систем.
Определение устойчивости системы (нестрогое):
С инженерной точки зрения, устойчивость понимается так:
v Малое изменение исходных данных должно приводить к малому же изменению результатов.
Для линейных систем с постоянными коэффициентами все определения устойчивости эквивалентны и связаны с корнями характеристического уравнения, которое в разных представлениях САУ может выражаться несколько по-разному.
Рассмотрим простейший случай, когда САУ задана передаточной функцией:
В этом случае характеристическое уравнение связано с полиномов в знаменателе передаточной функции: Р(р)=0 - характеристическое уравнение.
Как всякое полиномиальное уравнение порядка n с вещественными коэффициентами, оно имеет ровно n корней (среди них возможны комплексно-сопряжённые).
Известно, что общее решение системы линейных дифференциальных уравнений или линейного дифференциального уравнения высокого порядка (эти понятия сводятся друг к другу) выражается в виде суммы общего решения однородного уравнения (с 0 правой частью) и частного решения неоднородного уравнения (формула (24)). Поэтому для того, чтобы переходный процесс заканчивался, надо, чтобы решение однородного уравнения в формуле (24) стремилось к 0 (или хотя бы к константе).
При тех сигналах, которые имеются в САУ, частное решение обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Следовательно, вопрос устойчивости сводится к устойчивости однородного уравнения.
Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:
здесь рк – корни характ. уравнения n-го порядка.
Из этой формулы делаем основной вывод: чтобы переходный процесс заканчивался:
· достаточно, чтобы вешественные части корней рк характеристического уравнения n-го порядка были отрицательные, в этом случае имеются затухаюшие по экспоненте решения;
· если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гармонические незатухающие компоненты.
Для проверки факта отрицательности вещественных частей корней (эквивалентного, конечно, устойчивости) имеется целый ряд критериев. Разница между этими критериями заключается в том, каким именно образом проверяется расположение корней в левой полуплоскости. Это можно сделать тремя способами:
> вычислив корни непосредственно, что бывает непростой вычисли-тельной задачей, но для этого имеется много готовых программ;
> связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования. Это удобно для решения задач синтеза, но трудности вычислений быстро возрастают с ростом порядка системы;
> судить об устойчивости по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой САУ.
Первые два способа называются алгебраическими, последний частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные критерии исследования устойчивости, то есть удобные правила проверки устойчивости.
Замечание: Сам по себе критерий не обязан быть необходимым и достаточным условием. Обычно получения такого критерия является делом более сложным, чем отдельно необходимого или достаточного критерия. Особенно ярко это проявляется в случае нелинейных систем, которые будут рассмотрены во второй части нашего курса лекций.
0 коммент.:
Отправить комментарий