Структура имитационного моделирования

В общем случае структура ИМ включает в себя основные понятия, которые имеют следующую форму:

E = f(x_i,y_j), E - производительность, эффективность, результат действия имитационного моделирования, x_i - управляемые параметры, y_j - неуправляемые параметры.

В общем случае ИМ представляется комбинацией следующих основных составляющих - это элементы или компоненты:

- параметры,

- переменные,

- функциональные зависимости,

- ограничения,

- целевые функции.

Элементы или компоненты - это те составные части, которые образуют имитационную модель. Параметры - величины, которые могут выбираться произвольно оператором. Переменные могут принимать значения, которые определяются видом данной функции.

Пример. y=5x, y=30x, 5, 30 - параметры, x,y - переменные.

В имитационном моделировании переменные могут быть двух типов: входные и выходные.

Все переменные можно подразделить на экзогенные (входные переменные, не зависящие от ...) и эндогенные (выходные переменные, не зависящие от ...).

Функциональная зависимость описывает поведение переменных и параметров в пределах функциональных и параметрических ограничений. Ограничения - устанавливают пределы изменения значений переменных и параметров. Функция-критерий или целевая функция это то, ради чего создается модель. Как правило, целевая функция указывает на два типа целей:

- сохранение,

- приобретение.

Цели сохранения связаны с поддержанием каких-либо ресурсов (время, энергия и т.д.). Цель приобретения связана с приобретением новых ресурсов или состояний.

Непрерывно-детерминированные модели или D-схемы.

В системотехнике известны системы, которые работают в непрерывном времени. Такие системы можно представить в виде описания полными (с частными производными) или обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Математические модели, которые построены на базе решения дифференциальных уравнений принято называть непрерывно-детерминированными или D-схемами. С помощью дифференциальных уравнений удается представить процессы, происходящие в системах различной природы (механические, гидравлические, электрические, экономические). Следует заметить, что наиболее ранними исторически являются D-модели, однако, аналитические решения, а также численные решения таких дифференциальных уравнений давали для сложным систем приближенные результаты, но широкого применения не получили.

Пример 1.

В качестве примера рассмотрим механическую систему колебания маятника, которую можно описать следующим дифференциальным уравнением:

(1), m,g,l, Q - масса, ускорение

свободного падения, длина и угол отклонения соответственно.

Уравнения (1) и является математической моделью малых колебаний маятника.

Пример 2. Рассмотрим цепь второго порядка.

– математическая модель электрических колебаний контура. Особенность D-моделей заключается в следующем: эти модели обладают универсальными свойствами и позволяют описать различные природные явления в виде дифференциальных уравнений. Сравнивая математические модели (1) и (2) видно, что по существу они относятся к дифференциальным уравнениям 2-го порядка, хотя описывают разные явления для разных систем. Подобные системы можно представить как

y - обобщенная координата, которая определяет порядок движения системы во времени. В первом примере такой координатой являлся угол отклонения Q, а во втором - это ток i в колебательном контуре. а₁, а₂, а₃ - коэффициенты, определяемые самой системой. Уравнение (3) отражает режим свободного движения. В том случае, когда правая часть представлена в виде некоторой функции х, где х является заданной функцией времени, уравнение - (4) - отражает вынужденное движение системы:

В данном случае математическая модель D-схемы может быть представлена следующим образом:

y характеризует состояние системы на выходе, т.е. в D-схемах принято y представлять как выходной сигнал.

Пусть требуется получить математическую модель схемы, представленной ниже. Входной сигнал е(t), выходной - u_c(t).

математическая модель, e(t) - входной сигнал, U_C(t) - выходной сигнал, причем принято входной сигнал называть регулирующим сигналом выходного сигнала. Таким образом, с помощью дифференциальных уравнений можно описать в принципе любые непрерывные процессы для различных систем по соответствующим методикам.

В системотехнике важную роль играет проблема управления системами. Эта проблема тесно связана с выбором функций, формирующих правую часть D- уравнений. С этой точки зрения сложную систему принято рассматривать как систему автоматического управления, в которой по крайней мере имеется две взаимосвязанные подсистемы: управляемая и управляющая, которые можно представить в виде следующей схемы:

Cтруктурная схема системы автоматического управления (САУ).

y - координата, характеризующая состояние системы, х - характеризует задающее воздействие, r - возмущающее воздействие. z вырабатывается управляющей системой, которая по существу является функцией от ошибки. Ошибка - разность , т.е. управляющее воздействие на управляемую систему будет только лишь в том случае, если будет сигнал ошибки e, с другой стороны, система считается идеальной, если ошибки нет (e =0).

В реальных системах, кроме входного воздействия Х действует возмущающее воздействие r, которое и нарушает требуемую связь между x и y, где e - задано. r(t) может существенно исказить полезную информацию х, а в ряде случаев сделать такую систему неработоспособной. В общем случае такая структура может быть распространена на многомерные системы и тогда она будет иметь следующий вид:

При проектировании САУ необходимо выбрать такие параметры системы, которые обеспечивали бы требуемую точность управления ( e задано), устойчивость и регулируемость поведения системы в переходном процессе.

Задачами САУ являются изменение выходной координаты y(t) согласно заданному закону x(t) с определенными уровнем e_зад - заданной ошибки. Выводы о свойствах САУ можно сделать по общему виду дифференциальных уравнений, которые приблизительно отражают процессы в СС. В общем случае непрерывные системы описываются либо полными, либо частными дифференциальными уравнениями. В том случае, когда система носит дискретный характер, ее представляют в виде дифференциально - разностных уравнений. Различают также линейные и нелинейные САУ, которые соответственно могут описываться линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями. В свою очередь, как линейные, так и нелинейные системы могут быть стационарными и нестационарными, с сосредоточенными и распределенными параметрами. Для нестационарных систем дифференциальные уравнения имеют коэффициенты а₀, а₁, а₂, ... , которые являются функциями времени t. Рассмотрим САУ, которую можно отнести к стационарным линейным. Тогда, в общем случае, такую систему можно представить в виде следующего функционала:

F(yⁿ,y^n-1, ... , y, x^m, x^m-1, ..., x) = 0 (6), где y, x - выходные и входные сигналы, a n,m - порядок производных от функций y(t) и x(t) соответственно. Пусть система работает в некотором известном режиме, характеризуемом функциями y₀(t) , x₀(t). Обозначим малое отклонение от х₀(t) через Dх, и малое отклонение y₀(t) через Dy, т.е. y(t) = y₀(t) + Dy, x(t) = х₀(t) + Dx.

В этом случае уравнение (6) можно линеанеризовать, разложив его в ряд Тейлора, ограничившись только линейными членами относительно Dx, Dy.

Так как рассматривается стационарная и линейная САУ, то последнее выражение можно записать следующим образом:

(8)

Для решения таких уравнений можно воспользоваться как классическим подходом, так и подходом, основанном на преобразовании Лапласа:

(9)

Используя прямое преобразование Лапласа, последнее выражение можно записать следующим образом:

(10)

В САУ применимо одно важное ограничение: f(0) = 0, f ’(0) =0,

f ’’(0) =0, ... , fⁿ(0) =0.

Перепишем (10) в следующем виде:

(11)

Выражение a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n-1 p + a_n = 0 является характеристическим уравнением системы. Корни этого уравнения определяют свободный режим системы. Решение подобной системы характеристических уравнений осуществляется методом Гаусса. По общему виду полученной функции - выражение (11) - переходят в область оригинала, используя обратное преобразование Лапласа:

(12)

Для сложных формул вида (11) используют таблицы обратного преобразования Лапласа.

Пример.

Требуется найти Y.

y(0) = 0, y’(0) = 0.

Для решения применим метод неопределенных коэффициентов:

Выводы: т.к. в D-моделях используются существенные ограничения, связанные с тем, что начальные условия должны быть нулевыми, а также, что модель должна носить линейный и стационарный характер входные воздействия при этом носят лишь детерминированный характер. Все эти недостатки ограничивают применение таких моделей при исследовании сложных объектов, в том числе объектов вычислительной техники.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: