Методы поиска минимума функции одной переменной, основанные на полиномиальной аппроксимации

Рассмотрим класс методов, называемых методами полиномиальной аппроксимации, основная идея которых заключается в том, что по информации о вычисленных значениях функции f(x_i), i = 1, 2,…, n, строится полином j_m(x) степени m £ n-1, обладающий следующими свойствами [4,6]:

- j_m(x) является равномерным приближением минимизируемой функции на отрезке [a_k, b_k];

- точка минимума полинома j_m(x) определяется достаточно просто.

Отмеченные свойства полинома j_m(x) позволяют на каждом шаге поиска использовать для сокращения текущего отрезка не только информацию о точках x_i, но и информацию о значениях функции f(x_i) в этих точках.

Необходимым условием эффективной реализации методов этого

класса является унимодальность и непрерывность функции f(x).

Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, если функция f(x) непрерывна в некотором интервале, то ее с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка. Следовательно, если функция f(x) унимодальна и найден полином, который с заданной точностью ее аппроксимирует, то координаты точки экстремума функции определяются посредством вычисления координаты точки экстремума полинома [2,4].

Точность оценки координаты точки экстремума, полученной с помощью аппроксимирующего полинома, можно повысить двумя способами: использованием полинома более высокого порядка и уменьшением интервала аппроксимации.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями:

Оптимизация

• Безусловная минимизация функций численными методами второго порядка.
• Метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса.
• Метод наискорейшего спуска.
• Градиентные методы.
• Формулировка задачи многомерной оптимизации.
• Метод поиска минимума функции одной переменной с использованием кубичной аппроксимации