Однокритериальные задачи ПР в условиях определенности.

Простейшая ситуация выбора возникает, когда принятие конкретного решения х приводит к однозначному исходу у, оцениваемому с помощью единственного критерия. В этом случае предполагается наличие однозначной зависимости у = (х), причем “ценность” или “полезность исходов” у характеризуется заданным функционалом f: YE, где Y = (х). Таким образом, каждому решению хХ соответствует его числовая оценка f(y) = f(x)). Функционал f позволяет в явном виде отразить систему предпочтений ЛПР: считается, что чем больше значение f отвечает принятому решению х, тем более предпочтительной является эта альтернатива. Обозначая суперпозицию функций f и  через I, приходим к следующей оптимизационной постановке задачи ПР:

(1)

Функционал I(x) обычно называется целевым функционалом или целевой функцией. Требуется построить множество Х^* = Arg I(x) точек максимума функционала I:

x E. Соответствующее бинарное отношение R на множестве альтернатив X может быть задано следующим способом: (х¹, х²) R тогда и только тогда, когда I(x¹) > I(x²). Если I(x¹) = I(x²), то точки х¹, х² несравнимы по R и (х¹, х²) R. Такое отношение R обладает свойствами антирефлексивности, асимметричности, транзитивности (проверьте это) и поэтому является отношением строгого порядка на множестве х (подраздел 1.1.1). Ядром такого отношения является введенное выше множество Х^* (докажите это).

Упражнения.

а). Введите на Х бинарное отношение R следующим образом: (х¹, х²) R I(x¹) I(x²). Докажите, что такое отношение обладает свойствами рефлективности и транзитивности (является квазипорядком). Докажите, что и в этом случае Max_RX = x^*.

б). Пусть R - строгий порядок на множестве Х. Назовем элемент х⁰Х максимальным по R в Х, если не существует никакого элемента х, для которого хх⁰ (здесь использована символика: ху R). Докажите эквивалентность этого определения определению максимального элемента, данному в подразделе 1.1.2 применительно к произвольному отношению R.

Таким образом, мы видим, что функционал I(x) может порождать различные системы предпочтений, выраженные на языке бинарных отношений, а задача построения ядра оказывается эквивалентной задаче скалярной оптимизации (1). Термин “скалярный” в данном случае означает, что значения функционала I(x) - элементы множества вещественных чисел E - скаляры.

Возникает обратный вопрос: какими свойствами должно обладать бинарное отношение R на множестве Х, чтобы существовал “представляющий” R функционал типа I(x)? И если такой функционал существует, то как и в каких случаях его можно построить? Если мы научимся отвечать на подобные вопросы, то получим эффективный метод сведения задачи ПР, сформулированной в виде модели <A,R>, к задаче оптимизации (1), являющейся концептуально более простой. Мы не будем останавливаться на исследовании соответствующих проблем. Отметим только, что далеко не всякое бинарное отношение R допускает описание с помощью задания соответствующей целевой функции. Действительно, совершенно очевидно, что любое бинарное отношение, задаваемое целевой функцией, обязано обладать свойствами транзитивности и линейности. В то же время, как мы видели, реальные предпочтения, задаваемые соответствующими бинарными отношениями, могут этими свойствами не обладать (см. пример 5 из введения, где нарушена транзитивность). Нарушение свойства линейности также часто наблюдается на практике из-за существования несравнимых альтернатив (кто лучше, папа или мама?).

Таким образом, язык бинарных отношений является существенно более общим для описания системы предпочтений, чем язык целевых функций.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: