Согласованность всей иерархии. Метод анализа иерархий

Чтобы оценить согласованность всей иерархии, надо воспользоваться следующей формулой:

ОС_{Иерархии}= (12)

где x_i - значение i-ой компоненты вектора локальных приоритетов

второго уровня, вычисленное в соответствии с (2);

ИС_i - значение i-го индекса согласованности матриц попарных

сравнений третьего уровня;

СС(m) - значение случайной согласованности для

Согласно (12)

Значение отношения согласованности всей иерархии, меньшее 10%, является удовлетворительным. В противном случае необходимо найти причины несогласованности и предложить ЛПР меры по устранению несогласованности.

1.3.8. Синтез составных (глобальных) приоритетов методов решения нелинейных уравнений

В таблице 8 для наглядности представлены исходные данные для расчета значений компонент вектора глобальных приоритетов, полученные на предыдущих этапах МАИ.

Таблица 8 - Исходные данные для расчета глобальных

приоритетов

	x1 (0,2057)	x2 (0,1090)	x3 (0,1438)	x4 (0,1438)	x5 (0,3977)
	0,1090	0,3898	0,2857	0,1061	0,4000
	0,2245	0,3183	0,2857	0,1838	0,2000
	0,4179	0,1710	0,2857	0,4502	0,2000
	0,2485	0,1209	0,1429	0,2599	0,2000

Для выявления составных, или глобальных, приоритетов методов решения нелинейных уравнений в таблице 8 локальные приоритеты альтернатив располагаются по отношению к каждому критерию; каждый столбец векторов альтернатив умножается на приоритет соответствующего критерия и результаты складываются вдоль каждой строки:

(13)

С целью получения данных для дальнейшего проведения анализа рекомендуется, в обязательном порядке, при вычислениях по формуле (13) представлять промежуточные результаты вычислений.

(14)

Значения компонент векторов локальных приоритетов матриц попарных сравнений второго и третьего уровней можно рассматривать как простые распределения вероятностей выбора соответственно критериев и альтернатив, так как они представлены неотрицательными вещественными числами и подчиняются равенству (3). В таком случае вычисления по формуле (13) можно рассматривать как прямое линейное преобразование простых распределений случайных величин, в результате которого получается простое распределение вероятностей , следовательно, должно выполняться свойство

(15)

Проверим свойство (15):

Ранее, в параграфе 1.3.6, для такого значения была вычислена погрешность, значение которой 0,01% является удовлетворительным.

Анализ результатов этапа синтеза глобальных приоритетов методов решения нелинейных уравнений. Результаты вычислений по формуле (13) можно трактовать как значения функции полезности для каждой из альтернатив. Теперь можно ранжировать альтернативы по убыванию значений функции полезности: на первом месте стоит альтернатива М₃ (Метод Ньютона-Рафсона), которая «выигрывает» у альтернативы М₁ (Метод половинного деления)

(0,2899-0,2804)100%=0,95%.

Альтернатива М₁ «выигрывает» у альтернативы М₂ (Метод простой итерации)

(0,2804-0,2279)100%=5,25%.

Наконец, альтернатива М₂ «выигрывает» у альтернативы М₄ (Метод секущих)

(0,2279-0,2017)100%=2,62%.

Таким образом, подтвердились сделанные на основе таблицы 7 (параграф 1.3.6) предположения о «выигрышах» альтернатив М₃ и М₁, но не подтвердились прогнозы по поводу альтернатив М₄ и М₂.

Однако, «выигрыш» занявшей первое место альтернативы М₃ по сравнению с занявшей последнее место альтернативой М₄ составляет всего

(0,2899-0,2017)100%=8,82%,

что для данного метода анализа иерархий соизмеримо с допустимой ошибкой, поэтому нельзя сделать вывод о существенных преимуществах или недостатках одного из рассматриваемых методов решения нелинейных уравнений. Тем не менее, представляет интерес проанализировать, с использованием количественных оценок, за счет каких критериев каждый из методов получил примерно одинаковые значения функции полезности.

Анализ вкладов критериев в окончательные результаты. Для вычисления («вклада» i-го критерия в значение функции полезности ) воспользуемся значениями промежуточных результатов в формуле (13) и подставим их в формулу:

(16)

У альтернативы М₃, «Метод Ньютона-Рафсона», значение функции полезности образовалось с учетом (16) из следующих «вкладов» критериев:

А₁. Скорость сходимости метода - ;

А₂. Вычислительная сложность алгоритма решения -

;

А₃. Шаговость метода - ;

А₄. Зависимость числа итераций при получении решения от расположения точки начального приближения -

;

А₅. Гарантия сходимости - .

Таким образом, в оценку метода Ньютона-Рафсона внесли примерно одинаковый вклад три критерия - «Скорость сходимости метода», «Гарантия сходимости» и «Зависимость числа итераций при получении решения от расположения точки начального приближения».

В таблице 9 представлены «вклады» критериев в значение функции полезности

Таблица 9 - «Вклады» критериев в значение функции полезности

	А1	А2	А3	А4	А5
	7,99%	15,16%	14,66%	5,46%	56,74%
	20,27%	15,23%	18,03%	11,58%	34,88%
	29,67%	6,42%	14,18%	22,32%	27,42%
	25,33%	6,54%	10,16%	18,54%	39,41%

Из таблицы 9 следует:

- Метод половинного деления (М₁) основной «вклад» (56,74%) получил за счет критерия «А₅. Гарантия сходимости»;

- Метод простой итерации (М₂) наибольший «вклад» (34,88%) также получил за счет критерия «А₅. Гарантия сходимости», остальные критерии, за исключением критерия «А₄. Зависимость числа итераций при получении решения от расположения точки начального приближения», внесли примерно одинаковые «вклады»;

- Метод Ньютона-Рафсона (М₃) проанализирован выше;

- Метод секущих (М₄) наибольший «вклад» (39,41%) также получил за счет критерия «А₅. Гарантия сходимости», далее следуют «вклады» критериев «А₁. Скорость сходимости метода» (25,33%) и «А₄. Зависимость числа итераций при получении решения от расположения точки начального приближения» (25,33%).

Результаты проведенного анализа необходимо представить эксперту и ЛПР для возможного пересмотра количественных и качественных оценок предпочтений и повторной реализации некоторых или всех этапов МАИ.

Рассмотренный в разделе 1 пример реализации МАИ приведен с целью иллюстрации решения многокритериальной задачи выбора оптимального решения и, главное, - с целью освоения приемов анализа результатов на каждом этапе МАИ.

Ниже представлены рекомендации по выполнению расчетного задания, примеры постановки задач на содержательном и формальном уровнях и контрольные вопросы, ответить на которые можно, изучив библиографические источники.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: