Вычисление собственных характеристик обратно-симметричных матриц. Метод анализа иерархий

Естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное значение положительной обратносимметричной матрицы. Однако в общем случае эта задача хотя и разрешима, но технически достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но относительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычислений, то есть искать приближенное значение наибольшего собственного числа. Существует несколько способов приближенного вычисления наибольшего собственного значения матрицы попарных сравнений [1], [2]. Воспользуемся одним из них [1]. Необходимо вычислить сумму элементов в каждом столбце матрицы согласно формуле

(9)

после чего воспользоваться формулой

₍₁₀₎

где x_i - значения компонент вектора локальных приоритетов (2).

Вернемся к нашему примеру и оценим отношение согласованности для матрицы попарных сравнений второго уровня (Таблица 2). По формуле (9)

Согласно (10) наибольшее собственное значение матрицы по

сравнений

Как и ожидалось,

Индекс согласованности согласно (7) равен

а отношение согласованности с учетом того, что при n=5 случайная согласованность СС=1,12 (Таблица 4), по формуле (8) получает значение

Анализ результатов этапа исследования матрицы на согласованность. Необходимо выявить возможные нарушения транзитивной или кардинальной согласованности и предложить ЛПР способ, в результате применения которого значение отношения согласованности будет улучшено. Для примера исследуем бинарные отношения предпочтения между критериями А₅, А₁ и А₂ (Таблица 2). В соответствии с (5)

,

следовательно, для этих трех критериев нарушение транзитивной согласованности отсутствует. В противном случае лицу, принимающему решение, надо предложить пересмотреть отношения предпочтения между этими критериями. Проверим кардинальную (численную) согласованность между этими критериями. В соответствии с (6) для этих трех критериев должно выполняться равенство

a₅₁a₁₂=a₅₂.

Согласно таблице 2 значения элементов a₅₁=2, a₁₂=3, a₅₂=2, то есть

232.

Можно порекомендовать ЛПР уменьшить значение элемента a₅₁ до единицы, а элемента a₁₂ - до двух, что не нарушит транзитивную согласованность:

,

где символ «~» означает отношение равноценности. Только эти изменения приведут к уменьшению значения отношения согласованности до 4,17 % вместо 5,81%. Аналогичные исследования надо провести по отношению к остальным тройкам критериев, что может привести к абсолютно согласованной матрице попарных сравнений. Однако в данном случае мы никаких изменений в матрицу, представленную таблицей 2, вносить не будем. Поскольку отношение согласованности не превышает 10%, будем считать матрицу попарных сравнений второго уровня удовлетворительно согласованной, в противном случае (повторимся еще раз) необходимо обратиться к ЛПР для пересмотра значений предпочтений данной матрицы.

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями: