Классификация методов решения задач оптимального проектирования.

При создании новых видов приборов (изделий) возникают задачи оптимального проектирования в самой общей постановке, когда критерий оптимальности и ограничения являются нелинейными функциями конструктивных параметров. В общем случае эти задачи являются многоэкстремальными и поэтому требующими определения глобального экстремума. Если данная конкретная задача проектирования является одноэкстремальной, на практике, как правило, этот факт заранее, до ее решения не может быть установлен из-за сложности функций критерия оптимальности и ограничений. Поэтому, даже к таким задачам приходится подходить как к многоэкстремальным.

На рис. 1.2 представлена классификация методов решения задач оптимального проектирования для моделей проектируемых объектов с непрерывно изменяющимися параметрами. Каждый уровень классификационной таблицы, представленной на рисунке, соответствует либо некоторому этапу расчета, либо конкретному методу, применяемому на этом этапе. Так, поиск глобального оптимума включает в себя один из способов генерации начальных точек, а так же поиск локальных оптимумов. Поиск локального оптимума состоит из следующих этапов [4]:

· Выбор формы представления математической модели;

· Определение направления движения к оптимуму;

· Определение длины шага поиска.

Поскольку решение общей задачи оптимального проектирования происходит обычно в условиях отсутствия информации о числе локальных оптимумов, поиск всегда направлен на вычисление глобального оптимума.

В основе всех алгоритмов поиска глобального оптимума лежит получение и использование информации о расположении локальных экстремумов. Алгоритмы поиска глобального оптимума различаются по способу генерации начальных точек. Простейшими являются методы независимых испытаний. Каждое испытание состоит в вычислении в некоторой допустимой точке значения критерия оптимальности и сравнении его со значениями, полученными в предыдущих точках поиска.

Следующая группа методов поиска глобального экстремума основана на использовании априорной информации о характере критерия оптимальности. Обычно эти методы используются лишь для решения узкого круга специальных задач, поскольку данная информация может быть получена лишь на основе исследования специфики проектируемого объекта.

Ниболее общим и в то же время достаточно эффективным подходом к поиску глобального оптимума является использование последовательных испытаний с адаптацией. Адаптация в данном случае состоит в постепенном сокращении числа испытаний по мере накопления информации, в частности процедуры выбора начальных точек, а так же направлений поиска экстремумов.

Следующий уровень классификации охватывает методы поиска локального оптимума. Методы поиска локального оптимума включают: выбор способа представления математической модели для поиска, процедуру оценки направления поиска экстремума и определение длины шага поиска.

В зависимости от механизма формирования пробных точек способы оценки направления движения к оптимуму разделяются на детерминированные и стохастические. Стохастические методы содержат алгоритмы выбора направлений на основе некоторой случайной функции с заданным законом распределения.

Схема на рис. 1.2. отражает два существенно разных подхода к выбору способа представления математической модели для поиска оптимума. Первый из них, метод штрафных функций, объединяет критерий оптимальности и ограничения в один обобщенный критерий оптимальности. При приближении к границе допустимой области (или при выходе из нее) обобщенный критерий оптимальности начинает резко ухудшаться, за счет штрафных коэффициентов, и поиск автоматически возвращается в допустимую область. Наиболее часто используемыми на практике методами формирования обобщенного критерия оптимальности являются метод штрафных функций и метод барьеров.

Второй подход, объединяющий методы возможных направлений, основан на разделении этапов определения направления убывания критерия оптимальности и коррекции этого направления в соответствии с ограничивающими условиями. В качестве направления движения к оптимуму наиболее часто используется антиградиент критерия оптимальности. Методы возможных направлений наиболее эффективны при линейных ограничениях. В случае нелинейных ограничений используются их различные модификации.

Алгоритмы поиска локального оптимума являются, как правило, итеративными, т.е. порождают последовательность векторов , сходящуюся к вектору . Говорят, что вектор является пределом сходящейся последовательности , если для любого найдется такой номер N, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что допустимая область должна вместе с любой сходящейся последовательностью содержать и ее предел. Такая область называется замкнутой.

Эффективность методов поиска локального оптимума определяется скоростью их сходимости к . Говорят, что последовательность , сходится к быстрее последовательности , если начиная с некоторого выполняется неравенство:

. (5)

Критеричми оценки качества выбора направления по ряду обращений к модели являются:

1) Улучшение значения критерия оптимальности по сравнению с имеющимся в данной точке;

2) Наиболее быстрое убывание (возрастание) критерия оптимальности в окрестностях данной точки;

3) Наиболее вероятное расположение экстремума с учетом кривизны поверхности. Представляющей критерий оптимальности.

Использование каждогоиз трех критериев выбора направления движения к оптимуму требует различного числа обращений к модели. Ввиду того, что математические модели объектов являются довольно сложными, и каждое обращение к ним (вычисление в одной точке критерия оптимальности и проверка ограничений) занимает значительное время работы ЭВМ, необходимо очень внимательно подходить к выбору критерия оценки направления. Необослованное усиление критерия выбора направления поиска может привести к резкому возрастанию числа обращений к модели, а ослабление – к беспорядочному сканированию в окрестности оптимума. В обоих случаях увеличивается время счета ЭВМ. В обоих случаях увеличивается время счета на ЭВМ.

При выборе направления поиска экстремума обычнопринимается следующаяя стратегия: на начальных итерациях, когда с большой вероятностью уже несколько первых вычислительных значений критерия оптимальности дают информацию о направлении движения к экстремуму, используется первый критерий. Реализация этого критерия достигается использованием прямых детерминированных методов и методов случайного поиска. Затем, по мере приближения к экстремуму и усложнения геометрии критерия оптимальности используются методы, основанные на оценке градиента (стохастическая аппроксимация, градиентные методы, а так же методы планирования эксперимента), соответствующие второму критерию. Наконец, в окресности оптимального значения используются наиболее трудоемкие, но и наиболее информативные методы (“овражные”, переменной метрики), реализующие третий критерий выбора направления на экстремум.

В рассмотренной стратегии поиска допускаются исключения при резко меняющихся значениях критерия оптимальности в процессе поиска оптимального решения. Для такого класса функций оказываются эффективными специальные овражные методы, использующие адаптацию в процессе поиска.

С методами выбора направления на экстремум тесносвязаны методы определения длины шага поиска, хотя на начальных стадиях поиска достаточно эффективным оказывается движение с фиксированным шагом, либо с шагом, пропорциональным модулю градиента. В общем случае метод выбора длины шага существенно влияет на скорость сходимости алгоритма. Обычно поиск вдоль выбранного направления производится либо до границы допустимой области, либо до достижения минимального значения критерия оптимальности по заданному направлению. Поэтому алгоритмы формирования длины шага поиска представляют собой итерационные процедуры, включающие проверку условий допустимости всех промежуточных значений. Наиболее распространенные методы поиска минимума вдоль заданного направления (методы однопараметрической оптимизации): Фибоначчи, “Золотого сечения” и квадратичной аппроксимации.

Рассмотренные выше методы решения задач оптимального проектирования ориентированы на использование ЭВМ в поцессе оптимизации и учитывают следующие особенности задач оптимального пректирования:

1) Сложность вычислений критерия оптимальности и ограничений;

2) Многоэкстремальность, обусловленную как сложностью критерия оптимальности, так и геометрией допустимой области;

3) Детерминированный характер критерия оптимальности и ограничений;

4) Трудность проверки априорных математических свойств модели, таких как дифференцируемость, выпуклость и т.д.

5) Наличие случайной погрешности в расчетах, обусловленную с одной стороны, сложность модели, а с другой стороны – конечным числом разрядов, используемых при вычислениях на ЭВМ.

  

Предлагаю ознакомиться с аналогичными статьями:

образование

• Мой тест по сетям
• Цифровая обработка сигналлов
• Интерфейсы. Общие положения.
• Активность
• Основная семиотическая конструкция: треугольник Фреге
• Семиотика и знания

методичка

• Построение изображений заданных решений линейной системы по минимальным многочленам векторов пространства состояний
• Моделирование процессов управления ЛА. Управление самолетом «Боинг - 747» при посадке.
• ПЕРЕПЛЕТ ЖУРНАЛОВ
• КАК ПРОДЛИТЬ КНИЖКЕ ЖИЗНЬ
• Договоренности и динамика знаков
• Активность

Оптимизация

• Безусловная минимизация функций численными методами второго порядка.
• Метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса.
• Метод наискорейшего спуска.
• Градиентные методы.
• Формулировка задачи многомерной оптимизации.
• Метод поиска минимума функции одной переменной с использованием кубичной аппроксимации